�。�3）每條線所包圍的點(diǎn)子數(shù)與前面研究的一組正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子數(shù)有什么關(guān)系？（正好是第一到第五個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)子數(shù)。）

　�。ǖ诙�、三個(gè)問題需要老師引導(dǎo)，學(xué)生自己難以發(fā)現(xiàn)，尤其是第三個(gè)問題，學(xué)生很難想到它們和開始時(shí)依次出現(xiàn)的幾個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系。當(dāng)學(xué)生想不到這種聯(lián)系時(shí)，是否一定要引導(dǎo)？）

　�。�4）思考：表示這個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)的算式有什么特點(diǎn)？

　�。ㄟ@個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數(shù)可以看作是連續(xù)奇數(shù)的和。）

　�。�5）如果按這樣的劃分方法劃分第六個(gè)正方形點(diǎn)陣，它的點(diǎn)數(shù)該如何表示？

　　1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36；

　�。�6）前面老師是把這個(gè)5×5的正方形點(diǎn)陣用折線進(jìn)行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？在用算式表示上有什么規(guī)律？

　　學(xué)生的劃分有以下幾種

　�、贆M向劃分：用算式表示為5＋5＋5＋5＋5；

　�、谪Q向劃分：用算式表示為5＋5＋5＋5＋5；

　�、坌毕騽澐郑河盟闶奖硎緸�1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1；

　　至于前面兩種方法，都可以簡單地表示為：5×5；重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生討論第三種劃分方法，觀察這個(gè)算式，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

　　學(xué)生的發(fā)現(xiàn)如下

　　算式里最大的數(shù)是5；

　　從1開始加到5再加回到1；

　　這個(gè)算式是兩邊對稱的；

　　這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)是中間那個(gè)數(shù)字5乘5的積；

　　教師引導(dǎo)：照這樣的規(guī)律類推，第六個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)如何表示？第9個(gè)呢？第n個(gè)呢？

　�。ㄔ谶@里把尋找不同劃分方法的任務(wù)交給學(xué)生，既是學(xué)生前面探究過程思維的延續(xù)，又體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，還用另一種方式解讀了“練一練”中的第一題。培養(yǎng)了學(xué)生從不同的角度去發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)概括規(guī)律的能力。）

　　三、延伸應(yīng)用，形成策略

　　1、除了我們剛才研究的正方形點(diǎn)陣，請大家猜猜看，還會(huì)有什么形狀的點(diǎn)陣呢？

　�。▽W(xué)生列舉了長方形點(diǎn)陣、三角形點(diǎn)陣、圓形點(diǎn)陣、橢圓形點(diǎn)陣等等。）

　　2、請大家嘗試運(yùn)用前面學(xué)會(huì)的方法探究長方形點(diǎn)陣規(guī)律。

　�。�1）小組合作研究：如何用算式表示每個(gè)長方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子數(shù)？

　　學(xué)生通過討論很快達(dá)成共識

　　1×2；2×3；3×4；4×5；

　�。�2）請你獨(dú)立畫出第五個(gè)長方形點(diǎn)陣并用算式表示出點(diǎn)數(shù)。

　　（學(xué)生獨(dú)立畫圖并寫出算式，互相交流。）

　　算式表示為：5×6；

　�。�3）思考討論：你們覺得自己所寫的算式中的數(shù)字與圖形中的點(diǎn)子之間有什么關(guān)系？

　　（學(xué)生的發(fā)現(xiàn)為：乘法算式中的第二個(gè)因數(shù)總是比第一個(gè)因數(shù)多 1，第一個(gè)因數(shù)是長方形點(diǎn)陣的豎排點(diǎn)數(shù)，第二個(gè)因數(shù)是長方形點(diǎn)陣的橫排點(diǎn)數(shù)。并沒有發(fā)現(xiàn)第一個(gè)因數(shù)與點(diǎn)陣序號間的關(guān)系，因此，當(dāng)要求他們寫出18個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)時(shí)，出現(xiàn)了兩種不同的答案：17×18、18×19。在爭論各自的理由時(shí)，學(xué)生的注意力才聯(lián)系到了點(diǎn)陣的序號與算式的關(guān)系，從而確定了正確答案。）

　�。�4）照這樣繼續(xù)寫，你能寫出第n個(gè)長方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)嗎？

　　學(xué)生可以很順利地寫出：n×（n＋1）。

　　3、看來對于任何一個(gè)點(diǎn)陣，只要我們認(rèn)真觀察研究，總能發(fā)現(xiàn)其獨(dú)特的規(guī)律。在小組內(nèi)研究三角形點(diǎn)陣中的規(guī)律，要求

　　（1）個(gè)人思考活動(dòng)：觀察給出的四個(gè)三角形點(diǎn)陣的規(guī)律，畫出第五個(gè)三角形點(diǎn)陣。

　　（2）小組討論：對自己畫出的第五個(gè)三角形點(diǎn)陣進(jìn)行劃分，你能想到哪些不同的劃分方法？分別用算式表示點(diǎn)數(shù)。

　　（學(xué)生活動(dòng)）

　　全班交流

　　劃分一：橫向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；

　　劃分二：豎向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；

　　劃分三：斜向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；

　　劃分四：折線劃分，1＋5＋9＝15；

　�。▽τ谇懊娴娜�種劃分方法，都在我的預(yù)設(shè)之內(nèi)，學(xué)生到此，已經(jīng)很輕松地用語言表述出自己的想法：這樣的三角形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和。而對于第四種劃分方法，是我沒有想到的。有一個(gè)孩子卻用非常強(qiáng)烈地要求，表達(dá)了自己的這種劃分方法，并且說出了這個(gè)算式依次遞加4的規(guī)律。）

　　4、同學(xué)們真了起！真正具有未來數(shù)學(xué)家的風(fēng)范，用自己的聰明才智，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)了各個(gè)不同的點(diǎn)陣圖中隱藏的規(guī)律。那么你覺得應(yīng)該從哪些方面來探究點(diǎn)陣的規(guī)律？

　　學(xué)生交流

　　仔細(xì)觀察點(diǎn)陣的形狀；

　　數(shù)清每一行的點(diǎn)子數(shù)；

　　看清前后兩個(gè)點(diǎn)陣的變化……

　�。ㄔ谶@里不需要學(xué)生說出多么專業(yè)的、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)原理，只是引導(dǎo)學(xué)生對自己探究性學(xué)習(xí)方法的一個(gè)總結(jié)，盡管語言可能不夠簡練，總結(jié)不夠到位，只要學(xué)生用自己的語言在表述，就是對學(xué)生思維訓(xùn)練的一個(gè)提升，一種飛越。）

　　四、課堂總結(jié)

　　1、點(diǎn)陣的知識在生活中有著廣泛的應(yīng)用，比如北京奧運(yùn)會(huì)開幕式上的“擊缶表演”、“太極表演”等，都是把一個(gè)人看作了一點(diǎn)，來排列有規(guī)律的隊(duì)形。你還知道什么地方運(yùn)用了點(diǎn)陣的相關(guān)知識？

　　學(xué)生交流

　　五子棋、閱兵式的方隊(duì)、節(jié)日的花壇……

　　2、課后繼續(xù)搜集點(diǎn)陣的相關(guān)資料，下節(jié)課繼續(xù)交流。

　�。ㄔ谶@里，把學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)延伸到生活，鏈接到學(xué)生已有的相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)，然后讓學(xué)生在生活中繼續(xù)尋找哪里用到點(diǎn)陣的知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。）

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